Analysis Beispiele

$x^{2} - (y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + (- y^{3} - 1 \cdot 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + (- y^{3} - 2) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- y^{3} \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- y^{3} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) - 2 \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- 2 \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 = - x^{2}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} (- y^{3}) + \frac{d y}{d x} \cdot - 2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ durch $- y^{3} - 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2) = - x^{2}$ durch $- y^{3} - 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y^{3} - 2$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- y^{3} - 2)}{- y^{3} - 2} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- y^{3} - 2}$

Schritt 1.1.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 2}$

Schritt 1.1.4.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3}) - 1 (2)}$

Schritt 1.1.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{3}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- (y^{3} + 2)}$

Schritt 1.1.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.5.1

Schreibe $- (y^{3} + 2)$ als $- 1 (y^{3} + 2)$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{- 1 (y^{3} + 2)}$

Schritt 1.1.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Schritt 1.1.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $y^{3} + 2$ .

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{3} + 2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = (y^{3} + 2) \frac{x^{2}}{y^{3} + 2}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$(y^{3} + 2) \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$(y^{3} + 2) d y = x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{3} + 2 d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{3} d y + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{3}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + \int 2 d y = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \int x^{2} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{4} y^{4} + 2 y = \frac{1}{3} x^{3} + K$