Analysis Beispiele

$x (\frac{d y}{d x}) + y = x y^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{x y^{3}}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{3}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{3}$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{3}$ ist.

$v = y^{- 2}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ in Gedenken an $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 5.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{2}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 5.6.2.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 5.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = v$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.7.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.14

Bringe $v^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Schritt 5.15

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Schritt 5.16

Kombiniere $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Schritt 5.17

Schreibe $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Schritt 5.18

Mutltipliziere $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Schritt 5.19

Potenziere $v$ mit $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.21

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 5.23

Addiere $2$ und $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{2}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{3}$ ein.

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ mit $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $2 v^{\frac{3}{2}}$ aus $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- \frac{1}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.2.1.5.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.10

Kombiniere $v$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 2}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 1 \cdot 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{3}{2}}$ mit $v^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 7.1.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.4.4

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{\frac{0}{2}}$

Schritt 7.1.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2 v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.5

Vereinfache $- 2 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{2 v}{x} = - 2$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{2 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{2}{x}) = - 2$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{2}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{2}{x} v = - 2$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{2}{x}$ gilt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{2}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} v) = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 v}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 v}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 2$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 2$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}}$

Schritt 7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 v}{x^{3}} = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] = - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} v] d x = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} v = \int - \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Schritt 7.7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{2}} v = - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7.7.3.2

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.7.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.7.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 \int x^{- 2} d x$

Schritt 7.7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 7.7.5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.5.1

Schreibe $- 2 (- x^{- 1} + C)$ als $- 2 (- \frac{1}{x}) + C$ um.

$\frac{1}{x^{2}} v = - 2 (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 7.7.5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.7.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = 2 \frac{1}{x} + C$

Schritt 7.7.5.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x^{2}} v = \frac{2}{x} + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.1.1

Subtrahiere $\frac{2}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} = C$

Schritt 7.8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} v - \frac{2}{x} - C = 0$

Schritt 7.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $v$ .

$\frac{v}{x^{2}} - \frac{2}{x} - C = 0$

Schritt 7.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.2.1

Addiere $\frac{2}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{2}} - C = \frac{2}{x}$

Schritt 7.8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{2}} = \frac{2}{x} + C$

Schritt 7.8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x^{2}} x^{2} = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (\frac{2}{x} + C) x^{2}$

Schritt 7.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{2}{x} + C) x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{2}{x} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{2}{x} (x \cdot x) + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = 2 x + C x^{2}$

Schritt 7.8.4.2.1.3

Stelle $2 x$ und $C x^{2}$ um.

$v = C x^{2} + 2 x$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = C x^{2} + 2 x$