Analysis Beispiele

$x d x + \frac{1}{y} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{y} d y = - x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Schreibe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$ um.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{x^{2}}{2} + C}$ als $e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2}}$