Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

Schritt 1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

Schritt 1.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

Schritt 1.5.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Schritt 7.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Schritt 7.4

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.4.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.4.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.4.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.5

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 7.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.7

Vereinfache.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 7.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 7.9

Schreibe $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 7.10

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $\frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- \frac{1}{4}$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $\frac{1}{2} x$ .

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Schritt 8.3.2.1

Stelle $\frac{1}{2}$ und $x$ um.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.2

Um $x \frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $x \frac{1}{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.4

Um $\frac{2 x - 1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.5

Um $\frac{C}{e^{2 x}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 8.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 e^{2 x}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 x - 1}{4}$ mit $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 8.3.6.2

Mutltipliziere $\frac{C}{e^{2 x}}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

Schritt 8.3.6.3

Stelle die Faktoren von $e^{2 x} \cdot 4$ um.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Schritt 8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Schritt 8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Schritt 8.3.8.2

Schreibe $- 1 e^{2 x}$ als $- e^{2 x}$ um.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

Schritt 8.3.8.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$