Analysis Beispiele

$(2 x - 1) d x = - (3 y + 7) d y$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$- (3 y + 7) d y = (2 x - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - (3 y + 7) d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Multipliziere $- (3 y + 7)$ .

$\int - (3 y) - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int - 3 y - 1 \cdot 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\int - 3 y - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int y d y + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 7 d y = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.6

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$- 3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 7 y + C_{2} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.7.2

Vereinfache.

$\frac{- 3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.2.8

Stelle die Terme um.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y + C_{3} = x^{2} - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{3}{2} y^{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{y^{2} \cdot 3}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Schritt 3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y = x^{2} - x + K$

Schritt 3.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} = - x + K$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x = K$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 y^{2}}{2} - 7 y - x^{2} + x - K = 0$

Schritt 3.3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (- \frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 y^{2}}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- 3 y^{2}}{2}) + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 y^{2} + 2 (- 7 y) + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y + 2 (- x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 y^{2} - 14 y - 2 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Schritt 3.3.3

Bewege $- 14 y$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} + 2 x - 2 K - 14 y = 0$

Schritt 3.3.4

Bewege $2 x$ .

$- 3 y^{2} - 2 x^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Schritt 3.3.5

Stelle $- 3 y^{2}$ und $- 2 x^{2}$ um.

$- 2 x^{2} - 3 y^{2} - 2 K + 2 x - 14 y = 0$

Schritt 3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = - 14$ und $c = - 2 x^{2} - 2 K + 2 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} + 12 (- 2 K) + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 12 (2 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $196 - 24 x^{2} - 24 K + 24 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $196$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) - 24 x^{2} - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) - 24 K + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $- 24 K$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 24 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.4

Faktorisiere $4$ aus $24 x$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49) + 4 (- 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (49) + 4 (- 6 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (49 - 6 x^{2}) + 4 (- 6 K)$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.5.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K) + 4 (6 x)$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.6

Schreibe $4 (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ als $2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.6.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} (7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{7^{2} - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.1.8

Potenziere $7$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 2 \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 6}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{- 3}$

Schritt 3.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} - 6 K + 6 x}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \frac{7 + \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$

$y = - \frac{7 - \sqrt{49 - 6 x^{2} + K + 6 x}}{3}$