Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kombinieren.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $r^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{- 2}$ nach $r$ gleich $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- r^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{r} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{θ}$ nach $θ$ ist $\ln (| θ |)$ .

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$r, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$r$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ mit $r$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ mit $r$ .

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{r}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $\ln (| θ |) r + C r$ um.

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ um.

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $r$ aus $r \ln (| θ |) + C r$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $r$ aus $C r$ heraus.

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $r$ aus $r \ln (| θ |) + r C$ heraus.

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ durch $\ln (| θ |) + C$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ durch $\ln (| θ |) + C$ .

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| θ |) + C$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $θ$ und $2$ für $r$ in $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ ersetzt wird.

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

Schritt 5

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ um.

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

Schritt 5.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

Schritt 5.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

Schritt 5.2.3

Addiere $0$ und $C$ .

$- \frac{1}{C} = 2$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$C, 1$

Schritt 5.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$C$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{C} = 2$ mit $C$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{C} = 2$ mit $C$ .

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $C$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{C}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 2 C$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $2 C = - 1$ um.

$2 C = - 1$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 C = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C = - \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $- \frac{1}{2}$ für $C$ in $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $C$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Um $\ln (| θ |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $\ln (| θ |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.1

Multipliziere $\ln (| θ |) \cdot 2$ .

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Schritt 6.2.4.1.1

Stelle $\ln (| θ |)$ und $2$ um.

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

Schritt 6.2.4.1.2

Vereinfache $2 \cdot \ln (| θ |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

Schritt 6.2.4.2

Entferne den Absolutwert in ${| θ |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ mit $1$ .

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$