Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y + x y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y + x y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + x y$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + x))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (1 + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ als $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$