Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - x e^{y} = 2 e^{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $x e^{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{y} + x e^{y}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $2 e^{y} + x e^{y}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $2 e^{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + x e^{y}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $x e^{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 2 + e^{y} x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = e^{y} (2 + x)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} (2 + x))$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = 2 + x$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (2 + x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.1.2.1.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\int 1 e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{- y}$ mit $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u = - y$ . Dann ist $d u = - d y$ , folglich $- d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = - y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- e^{u} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 + x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- e^{- y} + C_{1} = \int 2 d x + \int x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \int x d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- e^{- y} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + K$ durch $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $e^{- y}$ durch $1$ .

$e^{- y} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ als $- (\frac{1}{2} x^{2})$ um.

$e^{- y} = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.5

Schreibe $- 1 \cdot (2 x)$ als $- (2 x)$ um.

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - (2 x) + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{K}{- 1}$

Schritt 3.1.3.1.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 1 \cdot K$

Schritt 3.1.3.1.8

Schreibe $- 1 \cdot K$ als $- K$ um.

$e^{- y} = - \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K$

Schritt 3.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 3.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.3.1

Zerlege $\ln (e^{- y})$ durch Herausziehen von $- y$ aus dem Logarithmus.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 3.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ als $- \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$ um.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x - K)$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = - \ln (- \frac{x^{2}}{2} - 2 x + K)$