Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Da die Ableitung von $- \cot (t)$ gleich $\csc^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (t)$ gleich $- \cot (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{2}$ für $t$ und $- 7$ für $v$ in $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ ersetzt wird.

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ um.

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{2}$ an.

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Schritt 4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

Schritt 4.2.1.1.4

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$π^{2} - 0 + K = - 7$

Schritt 4.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$π^{2} + 0 + K = - 7$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $π^{2}$ und $0$ .

$π^{2} + K = - 7$

Schritt 4.3

Subtrahiere $π^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 7 - π^{2}$

Schritt 5

Setze $- 7 - π^{2}$ für $K$ in $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 7 - π^{2}$ .

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$