Analysis Beispiele

$(x^{2} - y) d x - x d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = x^{2} - y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.2.2

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Schritt 1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = - 1$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 1 = - 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - x y + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = - x y + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y + g (x)] = x^{2} - y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $- y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $x$ gleich $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - y = x^{2} - y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y + y$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - y + y$ .

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Schritt 9.1.2.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = - x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = - x y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y + \frac{x^{3}}{3} + C$