Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 + 2 x y$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 2$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 2.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} \cdot 2$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 \cdot e^{- x^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 2 e^{- x^{2}}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 2 e^{- x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} y = \int 2 e^{- x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = 2 \int e^{- x^{2}} d x$

Schritt 7.2

$\int e^{- x^{2}} d x$ ist ein spezielles Integral. Das Integral ist die Fehlerfunktion.

$e^{- x^{2}} y = 2 (erf (x) + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$e^{- x^{2}} y = 2 erf (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = 2 e r f x + C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 e r f x}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$