Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$2 \frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$

Schritt 1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{1}{x} y}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 1.5

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{y}{x}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 1.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{2} x$

Schritt 1.7

Faktorisiere $y$ aus $\frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{1}{2} x$

Schritt 1.8

Stelle $y$ und $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{1}{x} y) = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{y}{x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.4

Kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} y}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.2.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 3.4

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{1 + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} y] d x = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$x^{\frac{1}{2}} y = \int \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Schritt 7.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.3.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ um.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2

Vereinfache.

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Schritt 7.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10$ .

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Schritt 7.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 (1)}{10} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 7.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{\frac{1}{2}} y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2

Multipliziere $x^{\frac{5}{2}}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.1.2.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{5} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{2} + \frac{5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 + 5}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Addiere $- 1$ und $5$ .

$y = \frac{1}{5} x^{\frac{4}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.5

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = \frac{1}{5} x^{2} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$