Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \frac{t + t y}{1 + t^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $t + t y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t^{1} + t y}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t y}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t y$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot 1 + t (y)}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 1 + t (y)$ heraus.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t \cdot (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $t$ mit $1 + y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (1 + y)}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} (\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 + y$ aus $\frac{t}{1 + t^{2}} (1 + y)$ heraus.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{1 + y} ((1 + y) \frac{t}{1 + t^{2}})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y} \frac{d y}{d t} = \frac{t}{1 + t^{2}}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 + y$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 + y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 1 + t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 t$ .

$2 t$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + t^{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| 1 + y |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.3

Um $\ln (| 1 + y |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $\ln (| 1 + y |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.6

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache $\frac{2 \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2}$ .

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Schritt 3.6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| 1 + y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| 1 + y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) - \ln (| 1 + t^{2} |)}{2} = C$

Schritt 3.6.1.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2} = C$

Schritt 3.6.1.2

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ um.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}) = C$

Schritt 3.6.1.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Schritt 3.6.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{{(1 + y)}^{2}}{| 1 + t^{2} |}$ an.

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.1.5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1}}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.6.1.5.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Schritt 3.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Schritt 3.8

Schreibe $\ln (\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.9.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ um.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Schritt 3.9.2

Multipliziere beide Seiten mit ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.9.3.1

Vereinfache $\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + y}{{| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.3.1.2

Stelle $1$ und $y$ um.

$y + 1 = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.9.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{C} {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = C {| 1 + t^{2} |}^{\frac{1}{2}} - 1$