Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{r}{θ}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{r^{2} + 2 r θ}{θ^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r θ}{θ^{2}}$

Schritt 1.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $θ$ und $θ^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $θ$ aus $2 r θ$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $θ$ aus $θ^{2}$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{θ (2 r)}{θ \cdot θ}$

Schritt 1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ^{2}} + \frac{2 r}{θ}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{r^{2}}{θ^{2}}$ als ${(\frac{r}{θ})}^{2}$ um.

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{2 r}{θ}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{r}{θ}$ von $\frac{2 r}{θ}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{r}{θ}$ aus $\frac{2 r}{θ}$ heraus.

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + \frac{r}{θ} \cdot 2$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{r}{θ}$ und $2$ um.

$\frac{d r}{d θ} = {(\frac{r}{θ})}^{2} + 2 \cdot \frac{r}{θ}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{r}{θ}$ . Ersetze $V$ für $\frac{r}{θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = V^{2} + 2 \cdot V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{r}{θ}$ nach $r$ auf.

$r = V θ$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $r = V θ$ nach $θ$ zu finden.

$\frac{d r}{d θ} = θ \frac{d V}{d θ} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d r}{d θ}$ durch $θ \frac{d V}{d θ} + V$ .

$θ \frac{d V}{d θ} + V = V^{2} + 2 V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d θ}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d θ}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + 2 V - V$

Schritt 6.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $2 V$ .

$θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$

Schritt 6.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ durch $θ$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $θ \frac{d V}{d θ} = V^{2} + V$ durch $θ$ .

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{θ \frac{d V}{d θ}}{θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Schritt 6.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d θ}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2}}{θ} + \frac{V}{θ}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V^{2} + V}{θ}$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{2} + V$ heraus.

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V^{2}$ heraus.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V}{θ}$

Schritt 6.1.2.2.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V^{1}}{θ}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V \cdot V + V \cdot 1}{θ}$

Schritt 6.1.2.2.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot V + V \cdot 1$ heraus.

$\frac{d V}{d θ} = \frac{V (V + 1)}{θ}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V (V + 1)}$ .

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V (V + 1)$ .

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Schritt 6.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{V (V + 1)} \cdot \frac{V (V + 1)}{θ}$

Schritt 6.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V (V + 1)} \frac{d V}{d θ} = \frac{1}{θ}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V (V + 1)} d V = \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V (V + 1)} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 6.2.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $V (V + 1)$ .

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V (V + 1))}{V (V + 1)} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (V + 1)}{V + 1} = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (V (V + 1))}{V} + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.1.2

Dividiere $A (V + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (V + 1) + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A V + A \cdot 1 + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A V + A + \frac{(B) (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V + 1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A V + A + \frac{B (V (V + 1))}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.1.5.4.2

Dividiere $(B) (V)$ durch $1$ .

$1 = A V + A + (B) (V)$

$1 = A V + A + B V$

Schritt 6.2.2.1.1.6

Bewege $A$ .

$1 = A V + B V + A$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $V$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $V$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 6.2.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 6.2.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = A + B$

Schritt 6.2.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.3

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 6.2.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1$

Schritt 6.2.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1$

Schritt 6.2.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{V} + \frac{B}{V + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{V} + \frac{- 1}{V + 1}$

Schritt 6.2.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{V} - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{V} d V + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{V}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int - \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.5

Sei $u = V + 1$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Es sei $u = V + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.5.1.1

Differenziere $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| V |) + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

$\ln (| V |) - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.8

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V |}{| u |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.2.9

Ersetze alle $u$ durch $V + 1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \int \frac{1}{θ} d θ$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{θ}$ nach $θ$ ist $\ln (| θ |)$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) + C_{3} = \ln (| θ |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) = \ln (| θ |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |}) - \ln (| θ |) = C$

Schritt 6.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| V |}{| V + 1 |}}{| θ |}) = C$

Schritt 6.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}) = C$

Schritt 6.3.4

Multipliziere $\frac{| V |}{| V + 1 |} \cdot \frac{1}{| θ |}$ .

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Schritt 6.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{| V |}{| V + 1 |}$ mit $\frac{1}{| θ |}$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V + 1 | | θ |}) = C$

Schritt 6.3.4.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (\frac{| V |}{| (V + 1) θ |}) = C$

Schritt 6.3.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + 1 θ |}) = C$

Schritt 6.3.5.2

Mutltipliziere $θ$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| V θ + θ |}) = C$

Schritt 6.3.5.3

Faktorisiere $θ$ aus $V θ + θ$ heraus.

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Schritt 6.3.5.3.1

Faktorisiere $θ$ aus $V θ$ heraus.

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Schritt 6.3.5.3.2

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ |}) = C$

Schritt 6.3.5.3.3

Faktorisiere $θ$ aus $θ^{1}$ heraus.

$\ln (\frac{| V |}{| θ V + θ \cdot 1 |}) = C$

Schritt 6.3.5.3.4

Faktorisiere $θ$ aus $θ V + θ \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$

Schritt 6.3.6

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |})} = e^{C}$

Schritt 6.3.7

Schreibe $\ln (\frac{| V |}{| θ (V + 1) |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| V |}{| θ (V + 1) |}$

Schritt 6.3.8

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$ um.

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} = e^{C}$

Schritt 6.3.8.2

Multipliziere beide Seiten mit $| θ (V + 1) |$ .

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Schritt 6.3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| θ (V + 1) |$ .

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Schritt 6.3.8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| V |}{| θ (V + 1) |} | θ (V + 1) | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Schritt 6.3.8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| V | = e^{C} | θ (V + 1) |$

Schritt 6.3.8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.3.2.1

Vereinfache $e^{C} | θ (V + 1) |$ .

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Schritt 6.3.8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| V | = e^{C} | θ V + θ \cdot 1 |$

Schritt 6.3.8.3.2.1.2

Mutltipliziere $θ$ mit $1$ .

$| V | = e^{C} | θ V + θ |$

Schritt 6.3.8.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.4.1

Schreibe die Gleichung als $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ um.

$e^{C} | θ V + θ | = | V |$

Schritt 6.3.8.4.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ durch $e^{C}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{C} | θ V + θ | = | V |$ durch $e^{C}$ .

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Schritt 6.3.8.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{C}$ .

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Schritt 6.3.8.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{C} | θ V + θ |}{e^{C}} = \frac{| V |}{e^{C}}$

Schritt 6.3.8.4.2.2.1.2

Dividiere $| θ V + θ |$ durch $1$ .

$| θ V + θ | = \frac{| V |}{e^{C}}$

Schritt 6.3.8.4.3

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = \frac{V}{e^{C}}$

$- (θ V + θ) = - \frac{V}{e^{C}}$

Schritt 6.3.8.4.4

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$

$θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$

Schritt 6.3.8.4.5

Löse $θ V + θ = \frac{V}{e^{C}}$ nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.4.5.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.8.4.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.4.5.2.1.1

Vereinfache $(θ V + θ) e^{C}$ .

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Schritt 6.3.8.4.5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.2.1.1.2

Stelle $θ$ und $V$ um.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{C}$ .

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Schritt 6.3.8.4.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = V$

Schritt 6.3.8.4.5.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.4.5.3.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V θ e^{C} + θ e^{C} - V = 0$

Schritt 6.3.8.4.5.3.2

Subtrahiere $θ e^{C}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V θ e^{C} - V = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V θ e^{C} - V$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.8.4.5.3.3.1

Faktorisiere $V$ aus $V θ e^{C}$ heraus.

$V (θ e^{C}) - V = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.3.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$V (θ e^{C}) + V \cdot - 1 = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V (θ e^{C}) + V \cdot - 1$ heraus.

$V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ durch $θ e^{C} - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.8.4.5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V (θ e^{C} - 1) = - θ e^{C}$ durch $θ e^{C} - 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.4.5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ e^{C} - 1$ .

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Schritt 6.3.8.4.5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (θ e^{C} - 1)}{θ e^{C} - 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.4.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.8.4.5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.4.5.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

Schritt 6.3.8.4.6

Löse $θ V + θ = - \frac{V}{e^{C}}$ nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.4.6.1

Multipliziere beide Seiten mit $e^{C}$ .

$(θ V + θ) e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.8.4.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.8.4.6.2.1.1

Vereinfache $(θ V + θ) e^{C}$ .

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Schritt 6.3.8.4.6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$θ V e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.2.1.1.2

Stelle $θ$ und $V$ um.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - \frac{V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.4.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{C}$ .

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Schritt 6.3.8.4.6.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{V}{e^{C}}$ in den Zähler.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = \frac{- V}{e^{C}} e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$V θ e^{C} + θ e^{C} = - V$

Schritt 6.3.8.4.6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.4.6.3.1

Addiere $V$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$V θ e^{C} + θ e^{C} + V = 0$

Schritt 6.3.8.4.6.3.2

Subtrahiere $θ e^{C}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V θ e^{C} + V = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V θ e^{C} + V$ heraus.

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Schritt 6.3.8.4.6.3.3.1

Faktorisiere $V$ aus $V θ e^{C}$ heraus.

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.3.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$V (θ e^{C}) + V = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.3.3

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$V (θ e^{C}) + V \cdot 1 = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.3.4

Faktorisiere $V$ aus $V (θ e^{C}) + V \cdot 1$ heraus.

$V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ durch $θ e^{C} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.4.6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V (θ e^{C} + 1) = - θ e^{C}$ durch $θ e^{C} + 1$ .

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.4.6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ e^{C} + 1$ .

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Schritt 6.3.8.4.6.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V (θ e^{C} + 1)}{θ e^{C} + 1} = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.4.2.1.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{- θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.8.4.6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.4.6.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Schritt 6.3.8.4.7

Liste alle Lösungen auf.

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} - 1}$

$V = - \frac{θ e^{C}}{θ e^{C} + 1}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

$V = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{r}{θ}$ .

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}, - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Schritt 8

Löse $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$ nach $r$ auf.

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Schritt 8.1

Forme um.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C - 1}$

Schritt 8.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$r (θ C - 1) = θ (- θ C)$

Schritt 8.3

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ) C$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$r (θ C - 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Schritt 8.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r (θ C - 1) = - θ^{1 + 1} C$

Schritt 8.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r (θ C - 1) = - θ^{2} C$

Schritt 8.3.2

Teile jeden Ausdruck in $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ durch $θ C - 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $r (θ C - 1) = - θ^{2} C$ durch $θ C - 1$ .

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Schritt 8.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ C - 1$ .

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Schritt 8.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r (θ C - 1)}{θ C - 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Schritt 8.3.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C - 1}$

Schritt 8.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}$

Schritt 9

Löse $\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$ nach $r$ auf.

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Schritt 9.1

Forme um.

$\frac{r}{θ} = - \frac{θ C}{θ C + 1}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

$r (θ C + 1) = θ (- θ C)$

Schritt 9.3

Löse die Gleichung nach $r$ auf.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1.1

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ) C$

Schritt 9.3.1.2

Potenziere $θ$ mit $1$ .

$r (θ C + 1) = - (θ^{1} θ^{1}) C$

Schritt 9.3.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r (θ C + 1) = - θ^{1 + 1} C$

Schritt 9.3.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r (θ C + 1) = - θ^{2} C$

Schritt 9.3.2

Teile jeden Ausdruck in $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ durch $θ C + 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $r (θ C + 1) = - θ^{2} C$ durch $θ C + 1$ .

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Schritt 9.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $θ C + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r (θ C + 1)}{θ C + 1} = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Schritt 9.3.2.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- θ^{2} C}{θ C + 1}$

Schritt 9.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf.

$r = - \frac{θ^{2} C}{θ C - 1}, r = - \frac{θ^{2} C}{θ C + 1}$