Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d s} = 3 r^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{1}{r^{2}} (3 r^{2})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3 \frac{1}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{r^{2}}$ .

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = \frac{3}{r^{2}} r^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d s} = 3$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{r^{2}} d r = 3 d s$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int 3 d s$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $r^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int 3 d s$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int 3 d s$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int r^{- 2} d r = \int 3 d s$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $r^{- 2}$ nach $r$ gleich $- r^{- 1}$ .

$- r^{- 1} + C_{1} = \int 3 d s$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- r^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{r} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int 3 d s$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = 3 s + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{r} = 3 s + K$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$r, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$r$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{r} = 3 s + K$ mit $r$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{r} = 3 s + K$ mit $r$ .

$- \frac{1}{r} r = 3 s r + K r$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{r}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{r} r = 3 s r + K r$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 3 s r + K r$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $3 s r + K r = - 1$ um.

$3 s r + K r = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $r$ aus $3 s r + K r$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $r$ aus $3 s r$ heraus.

$r (3 s) + K r = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $r$ aus $K r$ heraus.

$r (3 s) + r K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $r$ aus $r (3 s) + r K$ heraus.

$r (3 s + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $r (3 s + K) = - 1$ durch $3 s + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $r (3 s + K) = - 1$ durch $3 s + K$ .

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 s + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r (3 s + K)}{3 s + K} = \frac{- 1}{3 s + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- 1}{3 s + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{1}{3 s + K}$