Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y^{2}}$ , $y (2) = \sqrt[3]{15}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{3}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y^{2} d y = x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} d y = \int x^{3} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Schritt 2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{3} = 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{4}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x^{4}}{4}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$ heraus.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.4.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{4} + 4 K}{4}}$

Schritt 3.4.5

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{4} + 4 K)}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 3.4.8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.8.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 3.4.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.4.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.4.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.4.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 3.4.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.9.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 3.4.9.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 3.4.9.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.4.9.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 3.4.9.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.9.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 3.4.9.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.4.9.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Schritt 3.4.9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{4}$

Schritt 3.4.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.10.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $x$ und $\sqrt[3]{15}$ für $y$ in $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ ersetzt wird.

$\sqrt[3]{15} = \frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} = \sqrt[3]{15}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{\sqrt[3]{6 (2^{4} + K)}}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{6 (16 + K)}}{2} \cdot 2 = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = \sqrt[3]{15} \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{15}$ .

$\sqrt[3]{6 (16 + K)} = 2 \sqrt[3]{15}$

Schritt 6.4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{6 (16 + K)}}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{6 (16 + K)}$ als ${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Vereinfache ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(6 (16 + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(6 (16 + K))}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(6 \cdot 16 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.4.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

${(96 + 6 K)}^{1} = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.2.1.3.2

Vereinfache.

$96 + 6 K = {(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.3.1

Vereinfache ${(2 \sqrt[3]{15})}^{3}$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{15}$ an.

$96 + 6 K = 2^{3} {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Schritt 6.4.2.3.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$96 + 6 K = 8 {\sqrt[3]{15}}^{3}$

Schritt 6.4.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ als $15$ um.

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Schritt 6.4.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{15}$ als $15^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$96 + 6 K = 8 {(15^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{\frac{3}{3}}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15^{1}$

Schritt 6.4.2.3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$96 + 6 K = 8 \cdot 15$

Schritt 6.4.2.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $15$ .

$96 + 6 K = 120$

Schritt 6.4.3

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.4.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1.1

Subtrahiere $96$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 K = 120 - 96$

Schritt 6.4.3.1.2

Subtrahiere $96$ von $120$ .

$6 K = 24$

Schritt 6.4.3.2

Teile jeden Ausdruck in $6 K = 24$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 K = 24$ durch $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 6.4.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.4.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 K}{6} = \frac{24}{6}$

Schritt 6.4.3.2.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{24}{6}$

Schritt 6.4.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.2.3.1

Dividiere $24$ durch $6$ .

$K = 4$

Schritt 7

Setze $4$ für $K$ in $y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + K)}}{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $4$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (x^{4} + 4)}}{2}$