Analysis Beispiele

$\frac{d M}{d t} + \frac{M}{37.5} = 4$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d M}{d t}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5} = 4$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $37.5$ aus $37.5$ heraus.

$\frac{d M}{d t} + \frac{1 M}{37.5 (1)} = 4$

Schritt 1.1.1.3

Separiere Brüche.

$\frac{d M}{d t} + \frac{1}{37.5} \cdot \frac{M}{1} = 4$

Schritt 1.1.1.4

Dividiere $1$ durch $37.5$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} \frac{M}{1} = 4$

Schritt 1.1.1.5

Dividiere $M$ durch $1$ .

$\frac{d M}{d t} + 0.02\overline{6} M = 4$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $0.02\overline{6} M$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d M}{d t} = 4 - 0.02\overline{6} M$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M}$ .

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - 0.02\overline{6} M$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} (4 - 0.02\overline{6} M)$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} \frac{d M}{d t} = 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{4 - 0.02\overline{6} M} d M = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Dann ist $d u = - 0.02\overline{6} d M$ , folglich $\frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = d M$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = 4 - 0.02\overline{6} M$ . Ermittle $\frac{d u}{d M}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$\frac{d}{d M} [4 - 0.02\overline{6} M]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 0.02\overline{6} M$ nach $M$ $\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

$\frac{d}{d M} [4] + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $M$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $M$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d M} [- 0.02\overline{6} M]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 0.02\overline{6}$ konstant bezüglich $M$ ist, ist die Ableitung von $- 0.02\overline{6} M$ nach $M$ gleich $- 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$ .

$0 - 0.02\overline{6} \frac{d}{d M} [M]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d M} [M^{n}]$ gleich $n M^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 0.02\overline{6} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 0.02\overline{6}$ mit $1$ .

$0 - 0.02\overline{6}$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $0.02\overline{6}$ von $0$ .

$- 0.02\overline{6}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{0.02\overline{6}}) d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 0.02\overline{6}} d u = \int d t$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $0.02\overline{6}$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int - \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{0.02\overline{6} u} d u = \int d t$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.02\overline{6}}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{0.02\overline{6}} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Schreibe $- \frac{1}{0.02\overline{6}} (\ln (| u |) + C_{1})$ als $- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1}$ um.

$- 1 \cdot 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $37.5$ .

$- 37.5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $4 - 0.02\overline{6} M$ .

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$

Schritt 3

Löse nach $M$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ durch $- 37.5$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = t + C$ durch $- 37.5$ .

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 37.5$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 37.5 \ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)}{- 37.5} = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)$ durch $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = \frac{t}{- 37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $37.5$ aus $37.5$ heraus.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - \frac{1 t}{37.5 (1)} + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.4

Separiere Brüche.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.5

Dividiere $1$ durch $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.6

Dividiere $t$ durch $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - (0.02\overline{6} t) + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.7

Mutltipliziere $0.02\overline{6}$ mit $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t + \frac{C}{- 37.5}$

Schritt 3.1.3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{C}{37.5}$

Schritt 3.1.3.1.9

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5}$

Schritt 3.1.3.1.10

Faktorisiere $37.5$ aus $37.5$ heraus.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - \frac{1 C}{37.5 (1)}$

Schritt 3.1.3.1.11

Separiere Brüche.

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (\frac{1}{37.5} \cdot \frac{C}{1})$

Schritt 3.1.3.1.12

Dividiere $1$ durch $37.5$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} \frac{C}{1})$

Schritt 3.1.3.1.13

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - (0.02\overline{6} C)$

Schritt 3.1.3.1.14

Mutltipliziere $0.02\overline{6}$ mit $- 1$ .

$\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$

Schritt 3.2

Um nach $M$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |)} = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Schritt 3.3

Schreibe $\ln (| 4 - 0.02\overline{6} M |) = - 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} = | 4 - 0.02\overline{6} M |$

Schritt 3.4

Löse nach $M$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ um.

$| 4 - 0.02\overline{6} M | = e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Schritt 3.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$

Schritt 3.4.3

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ durch $- 0.02\overline{6}$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 0.02\overline{6} M = \pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C} - 4$ durch $- 0.02\overline{6}$ .

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 0.02\overline{6}$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 0.02\overline{6} M}{- 0.02\overline{6}} = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $M$ durch $1$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{- 0.02\overline{6}}$ .

$M = \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6}} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.3

Faktorisiere $0.02\overline{6}$ aus $0.02\overline{6}$ heraus.

$M = \frac{1 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C})}{0.02\overline{6} (1)} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.4

Separiere Brüche.

$M = \frac{1}{0.02\overline{6}} \cdot \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.5

Dividiere $1$ durch $0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 \frac{\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}}{1} + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.6

Dividiere $\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}$ durch $1$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + \frac{- 4}{- 0.02\overline{6}}$

Schritt 3.4.4.3.1.7

Dividiere $- 4$ durch $- 0.02\overline{6}$ .

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t - 0.02\overline{6} C}) + 150$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t + C}) + 150$

Schritt 4.2

Schreibe $e^{- 0.02\overline{6} t + C}$ als $e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}$ um.

$M = 37.5 (\pm e^{- 0.02\overline{6} t} e^{C}) + 150$

Schritt 4.3

Stelle $e^{- 0.02\overline{6} t}$ und $e^{C}$ um.

$M = 37.5 (\pm e^{C} e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$

Schritt 4.4

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$M = 37.5 (C e^{- 0.02\overline{6} t}) + 150$