Analysis Beispiele

$x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Wenn $v = \frac{d y}{d x}$ . Dann $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Setze $v$ für $\frac{d y}{d x}$ ein und $\frac{d v}{d x}$ für $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , um eine Differentialgleichung mit der abhängigen Variablen $v$ und unabhängigen Variablen $x$ zu erhalten.

$x \frac{d v}{d x} + v = 0$

Schritt 2

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x v$ ist.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Schritt 2.4

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Schritt 2.5

Stelle $v$ und $1$ um.

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x v] = 0$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 0 d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x v = \int 0 d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$x v = 0 + C_{1}$

Schritt 6.2

Addiere $0$ und $C_{1}$ .

$x v = C_{1}$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x v = C_{1}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x v = C_{1}$ durch $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x v}{x} = \frac{C_{1}}{x}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{C_{1}}{x}$

Schritt 8

Ersetze alle $v$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{1}}{x}$

Schritt 9

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{C_{1}}{x} d x$

Schritt 10

Integriere beide Seiten.

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Schritt 10.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Schritt 10.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{2} = \int \frac{C_{1}}{x} d x$

Schritt 10.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Da $C_{1}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $C_{1}$ aus dem Integral.

$y + C_{2} = C_{1} \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 10.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = C_{1} (\ln (| x |) + C_{3})$

Schritt 10.3.3

Vereinfache.

$y + C_{2} = C_{1} \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 10.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = C \ln (| x |) + D$