Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $2 (- y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung mit isolierten Koeffizienten um.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 \cdot - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 7.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Schritt 7.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 7.6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 7.9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 7.10

Schreibe $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 7.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12

Vereinfache.

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Schritt 7.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12.1.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Schritt 7.12.1.3

Kombiniere $e^{2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.12.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.3.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Schritt 7.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 x}}{4}$ in den Zähler.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 7.12.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Schritt 7.12.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$