Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$ ; , $y (2) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 4 x y = x$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $4 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $x^{2} \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Schritt 1.1.3.2

Potenziere $\frac{d y}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = x - 4 x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = x - 4 x y$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ durch $x^{2} + 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = x - 4 x y$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x - 4 x y$ heraus.

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Schritt 1.1.4.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 - 4 x y}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (- 4 y)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.1.4.3.2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- 4 y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 - 4 y)}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - 4 y}$ .

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} (\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y))$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 4 y$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $1 - 4 y$ aus $\frac{x}{x^{2} + 1} (1 - 4 y)$ heraus.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - 4 y} ((1 - 4 y) \frac{x}{x^{2} + 1})$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 - 4 y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 - 4 y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 - 4 y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 1 - 4 y$ . Dann ist $d u_{1} = - 4 d y$ , folglich $- \frac{1}{4} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 1 - 4 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 4 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $y$ gleich $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$0 - 4$

Schritt 2.2.1.1.4

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{- 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{u_{1}} (- \frac{1}{4}) d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{1}{u_{1} \cdot 4} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int - \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{4 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 4$ .

$- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |)) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $- 4 (- \frac{1}{4} \ln (| 1 - 4 y |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| 1 - 4 y |)$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| 1 - 4 y |)}{4}$ in den Zähler.

$- 4 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$4 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - 4 y |)}{4} = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| 1 - 4 y |)$ mit $1$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $- 4 (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 (\frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 4 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 (- 2) \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 1 - 4 y |) = 2 \cdot - 2 \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + C \cdot 2)$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 (\ln (| x^{2} + 1 |) + 2 C)$

Schritt 3.2.2.1.5

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 2 (2 C)$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\ln (| 1 - 4 y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) - 4 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = - 4 C$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache $\ln (| 1 - 4 y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = - 4 C$

Schritt 3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| 1 - 4 y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$

Schritt 3.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{- 4 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = - 4 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 C} = | 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Schritt 3.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ um.

$| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$

Schritt 3.7.2

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{- 4 C}$ durch ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 1 - 4 y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.2.2.1.2

Dividiere $| 1 - 4 y |$ durch $1$ .

$| 1 - 4 y | = \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$

Schritt 3.7.5

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.7.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = \pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.7.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.7.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.7.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.7.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.7.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.5.3.1.1

Vereinfache $\frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{- 4}$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 3.7.5.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.7.5.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\pm \frac{e^{- 4 C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $2$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{C \frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$ um.

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{C (\frac{1}{{(2^{2} + 1)}^{2}}) + 1}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{C \frac{1}{{(4 + 1)}^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{C \frac{1}{5^{2}} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{C \frac{1}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Kombiniere $C$ und $\frac{1}{25}$ .

$\frac{\frac{C}{25} + 1}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{C}{25} + \frac{25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{C + 25}{25}}{4} \cdot 4 = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{C + 25}{25} = 1 \cdot 4$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{C + 25}{25} = 4$

Schritt 6.4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $25$ .

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Schritt 6.4.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \frac{C + 25}{25} = 25 \cdot 4$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$C + 25 = 25 \cdot 4$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$C + 25 = 100$

Schritt 6.4.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.3.1

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 100 - 25$

Schritt 6.4.3.2

Subtrahiere $25$ von $100$ .

$C = 75$

Schritt 7

Setze $75$ für $C$ in $y = \frac{C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $75$ .

$y = \frac{75 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $75$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + 1}{4}$

Schritt 7.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{75}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{75 + {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$y = \frac{\frac{75 + (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.2.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.4.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\frac{75 + x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.3.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{75 + x^{4} + 2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.2.4.4

Addiere $75$ und $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}}{4}$

Schritt 7.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}$

Schritt 7.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$y = \frac{x^{4} + 2 x^{2} + 76}{4 {(x^{2} + 1)}^{2}}$