Analysis Beispiele

$(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ durch $1 + \sin^{2} (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \sin (2 x)$ durch $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 + \sin^{2} (x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \sin^{2} (x)} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- 2 y} \sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- 2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- 2 y}$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- 2 y}} (e^{- 2 y} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- 2 y}} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- 2 y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- 2 y})}^{- 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- 2 y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- 2 y \cdot - 1} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\int 1 e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{2 y}$ mit $1$ .

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.2

Sei $u_{1} = 2 y$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u_{1} = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.5

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Dann ist $d u_{3} = \sin (2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{3} = 1 + \sin^{2} (x)$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Addiere $0$ und $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.3.1.1.4.3

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.3.1.1.4.4

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.1.1.4.5

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x)$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $1 + \sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} e^{2 y} = \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 y} = 2 (\ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{2 y} = 2 \ln (| 1 + \sin^{2} (x) |) + 2 C$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (e) = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 y = \ln (\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + 2 C)$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + 2 C)}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$ um.

$\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C)}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (0)) + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0^{2}) + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (2 \ln (1 + 0) + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (2 \ln (1) + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\ln (2 \cdot 0 + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\ln (0 + C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.1.1.3

Addiere $0$ und $C$ .

$\ln (C) = 2 \cdot 1$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\ln (C) = 2$

Schritt 6.4

Um nach $C$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (C)} = e^{2}$

Schritt 6.5

Schreibe $\ln (C) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = C$

Schritt 6.6

Schreibe die Gleichung als $C = e^{2}$ um.

$C = e^{2}$

Schritt 7

Setze $e^{2}$ für $C$ in $y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + C)}{2}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $e^{2}$ .

$y = \frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$

Schritt 7.2

Schreibe $\frac{\ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ um.

$y = \frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln ({(2 \ln (1 + \sin^{2} (x)) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 7.4

Vereinfache $2 \ln (1 + \sin^{2} (x))$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \ln ({(\ln ({(1 + \sin^{2} (x))}^{2}) + e^{2})}^{\frac{1}{2}})$