Analysis Beispiele

$x^{2} \sin (x) d x + x (y d) y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{2} \sin (x) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y d y = - x^{2} \sin (x) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y d y = \frac{1}{x} (- x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y d y = - \frac{1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x^{2} \sin (x)) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sin (x)$ heraus.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y d y = \frac{- 1}{x} (x (x \sin (x))) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y d y = - (x \sin (x)) d x$

$y d y = - x \sin (x) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 4.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x \sin (x) d x$

Schritt 4.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Schritt 4.3.4.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Schritt 4.3.5

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$

Schritt 4.3.6

Schreibe $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2})$ als $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $2 (- (- x \cos (x) + \sin (x)) + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- (- x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Multipliziere $- (- x \cos (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} = 2 (1 (x \cos (x)) - \sin (x) + K)$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y^{2} = 2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)$

Schritt 5.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = 2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$

Schritt 5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x \cos (x) - 2 \sin (x) + 2 K$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x \cos (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) - 2 \sin (x) + 2 K}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x)) + 2 K}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (x \cos (x)) + 2 (- \sin (x))$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x \cos (x) - \sin (x)) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x \cos (x) - \sin (x) + K)}$