Analysis Beispiele

$(2 x y - 3 x^{2} y^{2}) d x + (x^{2} - 2 x^{3} y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - 3 x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 3 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2} y^{2}$ nach $y$ gleich $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 3 x^{2} (2 y)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 6 x^{2} y$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} - 2 x^{3} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x^{3} y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x^{3} y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3} y$ nach $x$ gleich $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 2 y (3 x^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - 6 y x^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y + 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- 6 x^{2} y + 2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 6 x^{2} y + 2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- 6 x^{2} y + 2 x = - 6 x^{2} y + 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - 3 x^{2} y^{2} d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 2 x y - 3 x^{2} y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Schritt 5.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Schritt 5.4

Da $- 3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3 y^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - 3 y^{2} \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 5.7.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Schritt 5.7.6

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{- 3 x^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- 3 x^{3})}{3} + C$

Schritt 5.7.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.7.7.1

Faktorisiere $3$ aus $y^{2} (- 3 x^{3})$ heraus.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3} + C$

Schritt 5.7.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 (1)} + C$

Schritt 5.7.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{3 (y^{2} (- x^{3}))}{3 \cdot 1} + C$

Schritt 5.7.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (- x^{3})}{1} + C$

Schritt 5.7.7.2.4

Dividiere $y^{2} (- x^{3})$ durch $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y x^{2}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.4

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} (- x^{3})]$ .

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Schritt 8.4.1

Da $- x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} (- x^{3})$ nach $y$ gleich $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 8.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2}$

Schritt 9.1.2

Addiere $2 x^{3} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$

Schritt 9.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 2 x^{3} y - x^{2} + 2 x^{3} y$ .

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Schritt 9.1.3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Schritt 9.1.3.2

Addiere $- 2 x^{3} y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Schritt 9.1.3.3

Addiere $- 2 x^{3} y$ und $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 10.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 10.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} (- x^{3}) + C$

Schritt 12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = y x^{2} - y^{2} x^{3} + C$