Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{x}$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 1.2.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 \ln (x)}$

Schritt 1.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{2})}$

Schritt 1.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{2}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 6.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 6.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 6.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 6.2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 6.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Schritt 6.4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos (u)$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Schritt 6.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Schritt 6.7

Stelle die Terme um.

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Kombiniere $\cos (3 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

Schritt 7.3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$