Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{1 - 2 x}{4 x - x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.3.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 - x^{2}}$

Schritt 2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot 4 + x (- x)}$

Schritt 2.3.1.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 4 + x (- x)$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{x \cdot (4 - x)}$

Schritt 2.3.1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $4 - x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x (4 - x)}$

Schritt 2.3.1.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (4 - x)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - 2 x) (x (4 - x))}{x (4 - x)} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - x$ .

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Schritt 2.3.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(1 - 2 x) (4 - x)}{4 - x} = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.5.2

Dividiere $1 - 2 x$ durch $1$ .

$1 - 2 x = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.6

Stelle $1$ und $- 2 x$ um.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + 1 = \frac{A (x (4 - x))}{x} + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.1.2

Dividiere $A (4 - x)$ durch $1$ .

$- 2 x + 1 = A (4 - x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x + 1 = A \cdot 4 + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 x + 1 = 4 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 - x$ .

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Schritt 2.3.1.1.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + \frac{B (x (4 - x))}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.1.7.5.2

Dividiere $(B) (x)$ durch $1$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + (B) (x)$

$- 2 x + 1 = 4 A - A x + B x$

Schritt 2.3.1.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1.8.1

Bewege $A$ .

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Schritt 2.3.1.1.8.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$- 2 x + 1 = 4 A - x A + B x$

Schritt 2.3.1.1.8.3

Bewege $4 A$ .

$- 2 x + 1 = - x A + B x + 4 A$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.3.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 2 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = 4 A$

Schritt 2.3.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

$- 2 = - 1 A + B$

$1 = 4 A$

Schritt 2.3.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1.3.1

Löse in $1 = 4 A$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $4 A = 1$ um.

$4 A = 1$

$- 2 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 A = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - 1 A + B$

Schritt 2.3.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $\frac{1}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $- 2 = - 1 A + B$ durch $\frac{1}{4}$ .

$- 2 = - 1 (\frac{1}{4}) + B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.2.2.1

Schreibe $- 1 (\frac{1}{4})$ als $- (\frac{1}{4})$ um.

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 2 = - \frac{1}{4} + B$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3

Löse in $- 2 = - \frac{1}{4} + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{4} + B = - 2$ um.

$- \frac{1}{4} + B = - 2$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.3.3.2.1

Addiere $\frac{1}{4}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 2 + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$B = - 2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$B = \frac{- 2 \cdot 4 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.3.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$B = \frac{- 8 + 1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.5.2

Addiere $- 8$ und $1$ .

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{- 7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.3.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = - \frac{7}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = - \frac{7}{4} A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = - \frac{7}{4}, A = \frac{1}{4}$

Schritt 2.3.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{4 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 x} + \frac{- \frac{7}{4}}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{4 - x}$

Schritt 2.3.1.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4 - x}$ mit $\frac{7}{4}$ .

$\frac{1}{4 x} - \frac{7}{(4 - x) \cdot 4}$

Schritt 2.3.1.5.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 - x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4 x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Schritt 2.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{7}{4 (4 - x)} d x$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{7}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{7}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{7}{4} \int \frac{1}{4 - x} d x)$

Schritt 2.3.7

Sei $u = 4 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.7.1

Es sei $u = 4 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.7.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.7.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{7}{4} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + 1 (\frac{7}{4}) \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.10.2

Mutltipliziere $\frac{7}{4}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| x |) + C_{2}) + \frac{7}{4} (\ln (| u |) + C_{3})$

Schritt 2.3.12

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| u |) + C_{4}$

Schritt 2.3.13

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{7}{4} \ln (| 4 - x |) + C$