Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $\sqrt{y}$ aus $\sqrt{y} + 4 x \sqrt{y}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + 4 x \sqrt{y}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $\sqrt{y}$ aus $4 x \sqrt{y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\sqrt{y}$ aus $\sqrt{y} \cdot 1 + \sqrt{y} (4 x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y} (1 + 4 x)$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (\sqrt{y} (1 + 4 x))$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 1 + 4 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = (1 + 4 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 1 + 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int d x + \int 4 x d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + \int 4 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x + 2 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{2} + x + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{2} + x + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ um.

$y = (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2}) (x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{K}{2})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$y = x^{2} x^{2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{2 + 2} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$y = x^{4} + x^{2} \frac{x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2} \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{2} x^{1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{4} + \frac{x^{2 + 1}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + x^{2} \frac{K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x}{2} x^{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Multipliziere $\frac{x}{2} x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.1

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x \cdot x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1} x^{2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{1 + 2}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.6

Multipliziere $\frac{x}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{x}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K}{2} x^{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.7

Kombiniere $\frac{K}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.8

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{x}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = x^{4} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2} K}{2} + \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x K}{4} + \frac{K x^{2}}{2} + \frac{K x}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = x^{4} + \frac{x^{3} + x^{2} K + x^{3} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $x^{3}$ und $x^{3}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + x^{2} K + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Addiere $x^{2} K$ und $K x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Stelle $x^{2}$ und $K$ um.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + K x^{2} + K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Addiere $K x^{2}$ und $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + x K + K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.5

Addiere $x K$ und $K x$ .

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Schritt 3.3.2.1.5.1

Stelle $x$ und $K$ um.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + K x + K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.5.2

Addiere $K x$ und $K x$ .

$y = x^{4} + \frac{2 x^{3} + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.6.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{3} + 2 K x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1.6.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 K x^{2}}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.1.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 K x^{2}$ heraus.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.1.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (x) + 2 x^{2} K$ heraus.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{4} + \frac{2 x^{2} (x + K)}{2} + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.2.2

Dividiere $x^{2} (x + K)$ durch $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} (x + K) + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{4} + x^{2} x + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.6.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.2.1.6.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = x^{4} + x^{2} x^{1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{4} + x^{2 + 1} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 K x + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.2.1.6.5.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 K x = 2 \cdot x \cdot K$

Schritt 3.3.2.1.6.5.2

Schreibe das Polynom neu.

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot K + K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.6.5.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = K$ .

$y = x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache $x^{4} + x^{3} + x^{2} K + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$ .

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Schritt 3.4.1

Stelle $x^{2}$ und $K$ um.

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(x + K)}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.2

Stelle $x$ und $K$ um.

$y = x^{4} + x^{3} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4}$

Schritt 3.4.3

Bewege $x^{3}$ .

$y = x^{4} + K x^{2} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{3}$

Schritt 3.4.4

Bewege $K x^{2}$ .

$y = x^{4} + \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + K x^{2} + x^{3}$

Schritt 3.4.5

Stelle $x^{4}$ und $\frac{{(K + x)}^{2}}{4}$ um.

$y = \frac{{(K + x)}^{2}}{4} + x^{4} + K x^{2} + x^{3}$