Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \cos^{2} (\frac{y}{x})$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \cos^{2} (V)$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \cos^{2} (V)$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \cos^{2} (V) - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \cos^{2} (V) - V$ .

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Schritt 5.1.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \cos^{2} (V)$

Schritt 5.1.1.1.2.2

Addiere $0$ und $\cos^{2} (V)$ .

$x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \cos^{2} (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (V)} \cdot \frac{\cos^{2} (V)}{x}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Kombinieren.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (V)$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1 \cos^{2} (V)}{\cos^{2} (V) x}$

Schritt 5.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 5.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (V)}$ nach $\sec^{2} (V)$ um.

$\int \sec^{2} (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.2.2

Da die Ableitung von $\tan (V)$ gleich $\sec^{2} (V)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (V)$ gleich $\tan (V)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 5.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\tan (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\tan (V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 5.3

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $V$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$V = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{x} = \arctan (\ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \arctan (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\arctan (\ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x \arctan (\ln (| x |) + C)$