Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Spalte $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{2 y^{2} - x^{2}}{x y}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y)}{y x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{x (- x)}{x y}$

Schritt 1.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} + \frac{- x}{y}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 1.3

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot 2 - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 1.3.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 \cdot V - V^{- 1}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 2 V - \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = 2 V - \frac{1}{V} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Subtrahiere $V$ von $2 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} + \frac{- \frac{1}{V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} - \frac{1}{x V}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Um $\frac{V}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V}{x} \cdot \frac{V}{V} - \frac{1}{x V}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{V}{x}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{x V} - \frac{1}{x V}$

Schritt 6.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V - 1}{x V}$

Schritt 6.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.4.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V - 1}{x V}$

Schritt 6.1.2.4.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1} V^{1} - 1}{x V}$

Schritt 6.1.2.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{1 + 1} - 1}{x V}$

Schritt 6.1.2.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1}{x V}$

Schritt 6.1.2.4.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} - 1^{2}}{x V}$

Schritt 6.1.2.4.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{x V}$

Schritt 6.1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V}{(V + 1) (V - 1)}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} (\frac{(V + 1) (V - 1)}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{(V + 1) (V - 1)}{V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Schritt 6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V$ .

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Schritt 6.1.5.2.1

Faktorisiere $V$ aus $V x$ heraus.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V (x)}$

Schritt 6.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{V x}$

Schritt 6.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Schritt 6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(V + 1) (V - 1)$ .

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Schritt 6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(V + 1) (V - 1)} \cdot \frac{(V + 1) (V - 1)}{x}$

Schritt 6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V}{(V + 1) (V - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = (V + 1) (V - 1)$ . Dann ist $d u = 2 V d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = (V + 1) (V - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{d}{d V} [(V + 1) (V - 1)]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ gleich $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ ist mit $f (V) = V + 1$ und $g (V) = V - 1$ .

$(V + 1) \frac{d}{d V} [V - 1] + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Differenziere.

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V - 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]$ .

$(V + 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(V + 1) (1 + \frac{d}{d V} [- 1]) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$(V + 1) (1 + 0) + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(V + 1) \cdot 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.4.2

Mutltipliziere $V + 1$ mit $1$ .

$V + 1 + (V - 1) \frac{d}{d V} [V + 1]$

Schritt 6.2.2.1.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$V + 1 + (V - 1) (\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1])$

Schritt 6.2.2.1.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + \frac{d}{d V} [1])$

Schritt 6.2.2.1.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$V + 1 + (V - 1) (1 + 0)$

Schritt 6.2.2.1.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.2.2.1.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$V + 1 + (V - 1) \cdot 1$

Schritt 6.2.2.1.1.3.8.2

Mutltipliziere $V - 1$ mit $1$ .

$V + 1 + V - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.3.8.3

Addiere $V$ und $V$ .

$2 V + 1 - 1$

Schritt 6.2.2.1.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 V + 0$

Schritt 6.2.2.1.1.3.8.4.2

Addiere $2 V$ und $0$ .

$2 V$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $(V + 1) (V - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| (V + 1) (V - 1) |))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Multipliziere $(V + 1) (V - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V (V - 1) + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - V + V - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Addiere $- V$ und $V$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| V^{2} - 1 |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| V^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| V^{2} - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| V^{2} - 1 |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Schritt 6.3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Schritt 6.3.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.1

Vereinfache $\ln (| V^{2} - 1 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.3.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| V^{2} - 1 |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.1.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.3

Multipliziere $(V + 1) (V - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.4.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| V (V - 1) + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.4.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.4.1.3.4.1.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$\ln (\frac{| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - V + V - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.2

Addiere $- V$ und $V$ .

$\ln (\frac{| V^{2} + 0 - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.4.3

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$\ln (\frac{| V^{2} - 1 |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\ln (\frac{| V^{2} - 1^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.4.1.3.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$

Schritt 6.3.5

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Schritt 6.3.6

Schreibe $\ln (\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}}$

Schritt 6.3.7

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.7.3.1.1

Vereinfache $\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2}$ .

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Schritt 6.3.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.7.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| (V + 1) (V - 1) |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| (V + 1) (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.2

Multipliziere $(V + 1) (V - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.7.3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$| V (V - 1) + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 (V - 1) | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$| V \cdot V + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$| V^{2} + V \cdot - 1 + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$| V^{2} - 1 \cdot V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 V$ als $- V$ um.

$| V^{2} - V + 1 V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$| V^{2} - V + V + 1 \cdot - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$| V^{2} - V + V - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.2

Addiere $- V$ und $V$ .

$| V^{2} + 0 - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.1.1.3.3

Addiere $V^{2}$ und $0$ .

$| V^{2} - 1 | = e^{2 C} x^{2}$

Schritt 6.3.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} x^{2}$ um.

$| V^{2} - 1 | = x^{2} e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$V^{2} - 1 = \pm x^{2} e^{2 C}$

Schritt 6.3.7.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$V^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} + 1$

Schritt 6.3.7.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} + 1}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \sqrt{\pm x^{2} C + 1}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \sqrt{C x^{2} + 1}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \sqrt{C x^{2} + 1}) x$