Analysis Beispiele

$\frac{d w}{d t} = 10 e^{\frac{- t}{25}} - \frac{w}{25}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d w}{d t} + M (t) w = Q (t)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $\frac{w}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d w}{d t} + \frac{w}{25} = 10 e^{\frac{- t}{25}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung mit isolierten Koeffizienten um.

$\frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} w = 10 e^{\frac{- 1}{25} t}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{1}{25}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} w) = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{25}$ und $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} w = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ und $w$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = e^{\frac{t}{25}} (10 e^{\frac{- 1}{25} t})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{t}{25}} e^{\frac{- 1}{25} t}$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{\frac{t}{25}}$ mit $e^{\frac{- 1}{25} t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $e^{\frac{- 1}{25} t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 (e^{\frac{- 1}{25} t} e^{\frac{t}{25}})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{\frac{- 1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{1}{25} t + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.3.2

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{- \frac{t}{25} + \frac{t}{25}}$

Schritt 3.4.4

Addiere $- \frac{t}{25}$ und $\frac{t}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10 e^{0}$

Schritt 3.5

Vereinfache $10 e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} w}{25} = 10$ um.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d w}{d t} + \frac{w e^{\frac{t}{25}}}{25} = 10$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] = 10$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} w] d t = \int 10 d t$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{t}{25}} w = \int 10 d t$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ durch $e^{\frac{t}{25}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{t}{25}} w = 10 t + C$ durch $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} w}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{10 t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$