Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3}$ , $s (1) = 14$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d s = 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d s = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$s + C_{1} = \int 12 t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 12 \int t {(3 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 3 t^{2} - 1$ . Dann ist $d u = 6 t d t$ , folglich $\frac{1}{6} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 3 t^{2} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $3 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2} - 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t^{2} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [3 t^{2}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t^{2}$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$6 t + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $6 t$ und $0$ .

$6 t$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$s + C_{1} = 12 \int u^{3} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{6}$ .

$s + C_{1} = 12 \int \frac{u^{3}}{6} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$s + C_{1} = 12 (\frac{1}{6} \int u^{3} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $12$ .

$s + C_{1} = \frac{12}{6} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ um.

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 2.3.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $3 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $t$ und $14$ für $s$ in $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ ersetzt wird.

$14 = \frac{1}{2} {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$ um.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1^{2} - 1)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot {(3 \cdot 1 - 1)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3 - 1)}^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 14$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{4}$ heraus.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 14$

Schritt 4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2^{3} + K = 14$

Schritt 4.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + K = 14$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 14 - 8$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $8$ von $14$ .

$K = 6$

Schritt 5

Setze $6$ für $K$ in $s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $6$ .

$s = \frac{1}{2} {(3 t^{2} - 1)}^{4} + 6$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$s = \frac{1}{2} ({(3 t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $3 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (3^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 {(t^{2})}^{4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{2 \cdot 4} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 {(3 t^{2})}^{3} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.4

Wende die Produktregel auf $3 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (3^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 4 (27 t^{6}) \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.7

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} + 108 t^{6} \cdot - 1 + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 {(3 t^{2})}^{2} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.9

Wende die Produktregel auf $3 t^{2}$ an.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (3^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $3$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 {(t^{2})}^{2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.11

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.11.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{2 \cdot 2}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 6 (9 t^{4}) {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} {(- 1)}^{2} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} \cdot 1 + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 4 (3 t^{2}) {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.16

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} + 12 t^{2} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + {(- 1)}^{4}) + 6$

Schritt 5.2.2.18

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8} - 108 t^{6} + 54 t^{4} - 12 t^{2} + 1) + 6$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$s = \frac{1}{2} (81 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (81 t^{8})$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $81$ und $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{81}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.1.2

Kombiniere $\frac{81}{2}$ und $t^{8}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 108 t^{6}) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 108 t^{6}$ heraus.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 54 t^{6})) + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (54 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $54 t^{4}$ heraus.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (27 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (- 12 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12 t^{2}$ heraus.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 6 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + 6$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6$

Schritt 5.3

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.4

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 6 \cdot 2}{2}$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{1 + 12}{2}$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ und $12$ .

$s = \frac{81 t^{8}}{2} - 54 t^{6} + 27 t^{4} - 6 t^{2} + \frac{13}{2}$