Analysis Beispiele

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x + 3$

Schritt 1

Integriere beide Seiten nach $x$ .

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Schritt 1.1

Die erste Ableitung ist gleich dem Integral der zweiten Ableitung nach $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x + 3 d x$

Schritt 1.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x d x + \int 3 d x$

Schritt 1.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x d x + \int 3 d x$

Schritt 1.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + \int 3 d x$

Schritt 1.5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{1}) + 3 x + C_{2}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 3 x + C_{3}$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (2 x^{2} + 3 x + C_{3}) d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Schritt 3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} + 3 x + C_{3} d x$

Schritt 3.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{4} = \int 2 x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{4} = 2 \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + \int 3 x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 \int x d x + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + \int C_{3} d x$

Schritt 3.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{4} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 3.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{4} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{5}) + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{6}) + C_{3} x + C_{7}$

Schritt 3.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{4} = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.3.7.3

Stelle die Terme um.

$y + C_{4} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $D$ zusammen.

$y = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + C x + D$