Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} - 4 x + 5$ , $y (- 1) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (9 x^{2} - 4 x + 5) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} - 4 x + 5 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 4 x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 \int x d x + \int 5 d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 5 d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 5 x + C_{4}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y + C_{1} = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $- 1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ ersetzt wird.

$0 = 3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$ um.

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache $3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K$ .

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 3 - 2 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 3 - 2 + 5 \cdot - 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 3 - 2 - 5 + K = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- 5 - 5 + K = 0$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$- 10 + K = 0$

Schritt 4.3

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 10$

Schritt 5

Setze $10$ für $K$ in $y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $10$ .

$y = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 10$