Analysis Beispiele

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y - (1 + \sin (x)) d x = 0$

Schritt 1

Addiere $(1 + \sin (x)) d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(6 y - \sec^{2} (y)) d y = (1 + \sin (x)) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 6 y - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int y d y + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - \int \sec^{2} (y) d y = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.5

Da die Ableitung von $\tan (y)$ gleich $\sec^{2} (y)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (y)$ gleich $\tan (y)$ .

$6 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - (\tan (y) + C_{2}) = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache.

$6 (\frac{1}{2}) y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.2.6.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int 1 + \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = \int d x + \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} + \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x + C_{4} - \cos (x) + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$3 y^{2} - \tan (y) + C_{3} = x - \cos (x) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$3 y^{2} - \tan (y) = x - \cos (x) + K$