Analysis Beispiele

$x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (x) \frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$ durch $x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (x) \frac{d y}{d x}}{x \ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) \frac{d y}{d x}}{\ln (x)} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{x e^{x}}{x \ln (x)}$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x \ln (x)}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x \ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 1.6

Stelle $y$ und $\frac{1}{x \ln (x)}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x \ln (x)} y = \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{1}{x \ln (x)}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{1}{x \ln (x)} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{1}{x \ln (x)}$ .

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Schritt 2.2.1

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$e^{\ln (| \ln (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\ln (x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\ln (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\ln (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\ln (x)$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) (\frac{1}{x \ln (x)} y) = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (x)}$ und $y$ .

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{x \ln (x)} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $\ln (x)$ aus $x \ln (x)$ heraus.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \ln (x) \frac{y}{\ln (x) x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \ln (x) \frac{e^{x}}{\ln (x)}$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) \frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\ln (x) y] = e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\ln (x) y] d x = \int e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\ln (x) y = \int e^{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\ln (x) y = e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\ln (x) y = e^{x} + C$ durch $\ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\ln (x) y = e^{x} + C$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) y}{\ln (x)} = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{\ln (x)} + \frac{C}{\ln (x)}$