Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2 y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{2 y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x e^{x}}{y \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x e^{x}}{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x e^{x}}{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Schritt 2.3.3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} (x e^{x}) + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Multipliziere $\frac{1}{2} (x e^{x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2.2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x}) + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{2} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = 2 \frac{x e^{x}}{2} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x e^{x} + 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{x}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = x e^{x} + 2 \frac{- e^{x}}{2} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = x e^{x} - e^{x} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + 2 K}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$

$y = - \sqrt{x e^{x} - e^{x} + K}$