Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y x^{4}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $\frac{y}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = y x^{4} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4} + \frac{y}{x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{4}) + y \frac{1}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = y (x^{4} + \frac{1}{x})$

Schritt 1.2.2

Um $x^{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{4} x}{x} + \frac{1}{x})$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x + 1}{x}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4} x^{1} + 1}{x}$

Schritt 1.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{4 + 1} + 1}{x}$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5} + 1}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{5} + 1}{x})$

Schritt 1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5} + 1}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5} + 1}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{5}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{4}}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.3.2.5

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{5} x^{5} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{5}}{5} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 3.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 3.4

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{x^{5}}{5} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x^{5}}{5} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 3.6

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Schritt 3.6.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Schritt 3.6.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Schritt 3.6.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$

Schritt 3.6.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{5}}{5} + C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Schritt 3.6.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{x^{5}}{5} + C}$ als $e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{\frac{x^{5}}{5}} e^{C})$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{x^{5}}{5}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{x^{5}}{5}})$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x | e^{\frac{x^{5}}{5}}$