Analysis Beispiele

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

Schritt 1

Es sei $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Ersetze $v_{1}$ für alle $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Schritt 2

Finde $\frac{d v_{1}}{d x}$ durch Differenzierung von $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Schritt 4

Es sei $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Ersetze $v_{2}$ für alle $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Schritt 5

Finde $\frac{d v_{2}}{d x}$ durch Differenzierung von $e^{v_{1}}$ .

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = v_{1}$ .

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Schritt 5.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Schritt 5.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ als $v_{1}'$ um.

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Schritt 6

Ersetze $e^{v_{1}}$ durch $v_{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Schritt 7

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Schritt 8

Separiere die Variablen.

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Schritt 8.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 8.1.1

Multipliziere beide Seiten mit $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.1.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1.1

Vereinfache $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

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Schritt 8.1.2.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 v_{2} x$ heraus.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2} x$ .

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Schritt 8.1.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.2.1.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.1.1.4.2

Stelle $\frac{d v}{d x}$ und $- 2 v_{2} x$ um.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Schritt 8.1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.2.2.1

Vereinfache $v (2 v x)$ .

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Schritt 8.1.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Schritt 8.1.2.2.1.2

Multipliziere $v_{2}$ mit $v_{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1.2.2.1.2.1

Bewege $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Schritt 8.1.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $v_{2}$ mit $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Schritt 8.1.3

Addiere $2 v_{2} x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 v_{2} x$ aus $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ heraus.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2 v_{2} x$ aus $2 {v_{2}}^{2} x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Schritt 8.2.2

Faktorisiere $2 v_{2} x$ aus $2 v_{2} x$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Schritt 8.2.3

Faktorisiere $2 v_{2} x$ aus $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ heraus.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Schritt 8.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

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Schritt 8.4.3.1

Faktorisiere $v_{2} (v_{2} + 1)$ aus $v_{2} x (v_{2} + 1)$ heraus.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Schritt 8.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Schritt 8.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Schritt 8.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Schritt 9

Integriere beide Seiten.

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Schritt 9.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 9.2.1.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 9.2.1.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2} + 1$ .

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Schritt 9.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2}$ .

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Schritt 9.2.1.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5.1.2

Dividiere $A (v_{2} + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v_{2} + 1$ .

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Schritt 9.2.1.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.1.5.4.2

Dividiere $B v_{2}$ durch $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Schritt 9.2.1.1.6

Bewege $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Schritt 9.2.1.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 9.2.1.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $v_{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 9.2.1.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $v_{2}$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 9.2.1.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 9.2.1.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 9.2.1.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = A + B$

Schritt 9.2.1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 9.2.1.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Schritt 9.2.1.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Schritt 9.2.1.3.3

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 9.2.1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

Schritt 9.2.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 9.2.1.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1$

Schritt 9.2.1.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1$

Schritt 9.2.1.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Schritt 9.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.3

Das Integral von $\frac{1}{v_{2}}$ nach $v_{2}$ ist $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $v_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.5

Sei $u_{3} = v_{2} + 1$ . Dann ist $d u_{3} = d v_{2}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 9.2.5.1

Es sei $u_{3} = v_{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

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Schritt 9.2.5.1.1

Differenziere $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Schritt 9.2.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v_{2} + 1$ nach $v_{2}$ $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Schritt 9.2.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ gleich $n {v_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Schritt 9.2.5.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $v_{2}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $v_{2}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 9.2.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 9.2.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Schritt 9.2.7

Vereinfache.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Schritt 9.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Schritt 9.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 9.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 9.3.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Schritt 9.3.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Schritt 9.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Schritt 10

Löse nach $v_{2}$ auf.

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Schritt 10.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Schritt 10.2

Um nach $v_{2}$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Schritt 10.3

Schreibe $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Schritt 10.4

Löse nach $v_{2}$ auf.

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Schritt 10.4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ um.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Schritt 10.4.2

Multipliziere beide Seiten mit $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Schritt 10.4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u_{3} |$ .

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Schritt 10.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Schritt 10.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Schritt 10.4.4

Löse nach $v_{2}$ auf.

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Schritt 10.4.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ um.

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Schritt 10.4.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Schritt 11

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 11.1

Schreibe $e^{x^{2} + C}$ als $e^{x^{2}} e^{C}$ um.

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Schritt 11.2

Stelle $e^{x^{2}}$ und $e^{C}$ um.

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Schritt 11.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Schritt 12

Ersetze alle $v_{2}$ durch $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Schritt 13

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 13.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Schritt 13.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 13.2.1

Zerlege $\ln (e^{v_{1}})$ durch Herausziehen von $v_{1}$ aus dem Logarithmus.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Schritt 13.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Schritt 13.2.3

Mutltipliziere $v_{1}$ mit $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Schritt 13.3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 13.3.1

Schreibe $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ als $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ um.

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Schritt 13.3.2

Schreibe $\ln (C | u_{3} |)$ als $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ um.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Schritt 13.3.3

Zerlege $\ln (e^{x^{2}})$ durch Herausziehen von $x^{2}$ aus dem Logarithmus.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Schritt 13.3.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Schritt 13.3.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Schritt 13.4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Schritt 14

Ersetze alle $v_{1}$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Schritt 15

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 15.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 15.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Schritt 15.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 15.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Schritt 15.1.2.2

Addiere $\ln (C | u_{3} |)$ und $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Schritt 15.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Schritt 15.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 15.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Schritt 15.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Schritt 15.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Schritt 16

Da $y$ nicht-negativ in der Anfangsbedingung $(0, 0)$ ist, betrachte nur $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ um $C$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $0$ für $y$ .

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Schritt 17

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 17.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ um.

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

Schritt 17.2

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 17.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 17.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 17.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ als ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 17.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.2.2.1

Vereinfache ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 17.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 17.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 17.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 17.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Schritt 17.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

Schritt 17.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

Schritt 17.2.3

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 17.2.3.1

Um nach $C$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

Schritt 17.2.3.2

Schreibe $\ln (C | u_{3} |) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = C | u_{3} |$

Schritt 17.2.3.3

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 17.2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $C | u_{3} | = e^{0}$ um.

$C | u_{3} | = e^{0}$

Schritt 17.2.3.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C | u_{3} | = 1$

Schritt 17.2.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $C | u_{3} | = 1$ durch $| u_{3} |$ und vereinfache.

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Schritt 17.2.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C | u_{3} | = 1$ durch $| u_{3} |$ .

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Schritt 17.2.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 17.2.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u_{3} |$ .

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Schritt 17.2.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

Schritt 17.2.3.3.3.2.1.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

Schritt 18

Setze $\frac{1}{| u_{3} |}$ für $C$ in $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 18.1

Ersetze $C$ durch $\frac{1}{| u_{3} |}$ .

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Schritt 18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| u_{3} |$ .

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Schritt 18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

Schritt 18.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

Schritt 18.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Schritt 18.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$y = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 18.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 0$