Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \sin (x + 3) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Addiere $\sin (x + 3)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = \sin (x + 3)$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sin (x + 3) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (x + 3) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (x + 3) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = x + 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 2.3.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 3$ .

$y + C_{1} = - \cos (x + 3) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cos (x + 3) + K$