Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y + C_{1} = 8 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 8 x^{\frac{1}{2}} + K$