Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ that satisfies the initial condition $y (1) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = x + K$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (x + K)$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $0$ für $y$ in $y = \tan (x + K)$ ersetzt wird.

$0 = \tan (1 + K)$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (1 + K) = 0$ um.

$\tan (1 + K) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $K$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$1 + K = \arctan (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$1 + K = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 1$

Schritt 5.5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$1 + K = π + 0$

Schritt 5.6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.6.1

Addiere $π$ und $0$ .

$1 + K = π$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = π - 1$

Schritt 5.7

Ermittele die Periode von $\tan (1 + K)$ .

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Schritt 5.7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 5.7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 5.7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 5.7.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5.8

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 5.8.1

Addiere $π$ zu $- 1$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 1 + π$

Schritt 5.8.2

Liste die neuen Winkel auf.

$K = - 1 + π$

Schritt 5.9

Die Periode der Funktion $\tan (1 + K)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$K = - 1 + π + π n, π - 1 + π + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.10

Führe $- 1 + π + π n$ und $π - 1 + π + π n$ zu $- 1 + π + π n$ zusammen.

$K = - 1 + π + π n$

Schritt 6

Setze $- 1 + π + π n$ für $K$ in $y = \tan (x + K)$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $- 1 + π + π n$ .

$y = \tan (x - 1 + π + π n)$