Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Nehme $\sqrt{x^{2}} = x$ an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

Schritt 1.2

Vereinige $\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ und $\sqrt{x^{2}}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.3

Spalte $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.4

Schreibe $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ als ${(\frac{y}{x})}^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

Schritt 6.1.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $0$ und $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Multipliziere $(1 + V) (1 - V)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Schritt 6.2.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Schritt 6.2.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- V$ mit $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 - V + V - V \cdot V$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.5

Multipliziere $V$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Bewege $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Schritt 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.2

Addiere $- V$ und $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$1 - V^{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Stelle $1$ und $- V^{2}$ um.

$- V^{2} + 1$

Schritt 6.2.2.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Schritt 6.2.2.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 6.2.2.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.2.1.4.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Schritt 6.2.2.1.4.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 0$ als $- 0$ um.

$d = - 0$

Schritt 6.2.2.1.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$d = 0$

Schritt 6.2.2.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 6.2.2.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.3

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Schritt 6.2.2.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 1 + 0$

Schritt 6.2.2.1.5.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$e = 1$

Schritt 6.2.2.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(V + 0)}^{2} + 1$ ein.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = V + 0$ . Dann ist $d u = d V$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = V + 0$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V + 0$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Da $0$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Stelle $- u^{2}$ und $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Addiere $V$ und $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $V$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $\sin (\ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$