Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{y} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\sqrt{y} d y = \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \sqrt{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int y^{\frac{1}{2}} d y = \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{2} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.1.1.6

Dividiere $y^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3}{2} K$

Schritt 3.2.2.1.1.3

Kombinieren.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3}{2} K$

Schritt 3.2.2.1.1.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $K$ .

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2.4

Dividiere $x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2}$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.4.1.2

Vereinfache.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 K}{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = {(x^{\frac{3}{2}} + K)}^{\frac{2}{3}}$