Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ um.

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ um.

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (| 1 - x |)$ heraus.

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $C y$ heraus.

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ heraus.

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Schritt 3.3.3

Schreibe $- 1 \ln (| 1 - x |)$ als $- \ln (| 1 - x |)$ um.

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Schritt 3.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ durch $- \ln (| 1 - x |) + C$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ durch $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Schritt 3.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

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Schritt 3.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Schritt 3.3.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Schritt 3.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| 1 - x |)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Schritt 3.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $C$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Schritt 3.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ heraus.

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Schritt 3.3.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.3.5.1

Schreibe $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ als $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ um.

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Schritt 3.3.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Schritt 3.3.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Schritt 3.3.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ ersetzt wird.

$1 = \frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$ um.

$\frac{1}{\ln (| 1 + 0 |) + C} = 1$

Schritt 6.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 1$

Schritt 6.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\ln (1) + C} = 1$

Schritt 6.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1}{0 + C} = 1$

Schritt 6.2.4

Addiere $0$ und $C$ .

$\frac{1}{C} = 1$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$C, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$C$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{C} = 1$ mit $C$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{C} = 1$ mit $C$ .

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $C$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{C} C = 1 C$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1 C$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$1 = C$

Schritt 6.5

Schreibe die Gleichung als $C = 1$ um.

$C = 1$

Schritt 7

Setze $1$ für $C$ in $y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + 1}$