Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{2} \sec^{2} (2 x)$ und $y (\frac{π}{8}) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (4 y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} \sec^{2} (2 x)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} (\sec^{2} (2 x)))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} \sec^{2} (2 x))$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 \sec^{2} (2 x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sec^{2} (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{1} \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.5.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \sec^{2} (u) d u$

Schritt 2.3.6

Da die Ableitung von $\tan (u)$ gleich $\sec^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u)$ gleich $\tan (u)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\tan (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \tan (2 x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = 2 \tan (2 x) + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = 2 \tan (2 x) y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 2 \tan (2 x) y + K y$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Stelle die Faktoren in $2 \tan (2 x) y + K y$ um.

$- 1 = 2 y \tan (2 x) + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y \tan (2 x) + K y = - 1$ um.

$2 y \tan (2 x) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y \tan (2 x) + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y \tan (2 x)$ heraus.

$y (2 \tan (2 x)) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y (2 \tan (2 x)) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 \tan (2 x)) + y K$ heraus.

$y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ durch $2 \tan (2 x) + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (2 \tan (2 x) + K) = - 1$ durch $2 \tan (2 x) + K$ .

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \tan (2 x) + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 \tan (2 x) + K)}{2 \tan (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{2 \tan (2 x) + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{8}$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = - \frac{1}{2 \tan (2 x) + K}$ ersetzt wird.

$1 = - \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{8}) + K}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$ um.

$- \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K} = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 (4)}) + K} = 1$

Schritt 5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4}) + K} = 1$

Schritt 5.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 \tan (\frac{π}{4}) + K} = 1$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + K} = 1$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 + K} = 1$

Schritt 5.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 + K, 1$

Schritt 5.3.2

Entferne die Klammern.

$2 + K, 1$

Schritt 5.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 + K$

Schritt 5.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 + K} = 1$ mit $2 + K$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{2 + K} = 1$ mit $2 + K$ .

$- \frac{1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + K$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 + K}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Schritt 5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 + K} (2 + K) = 1 (2 + K)$

Schritt 5.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = 1 (2 + K)$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Mutltipliziere $2 + K$ mit $1$ .

$- 1 = 2 + K$

Schritt 5.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Schreibe die Gleichung als $2 + K = - 1$ um.

$2 + K = - 1$

Schritt 5.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 1 - 2$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$K = - 3$

Schritt 5.6

Schließe die Lösungen aus, die $1 = - \frac{1}{2 \tan (2 (\frac{π}{8})) + K}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$