Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = \sin (t) + 1$ , $y (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\sin (t) + 1) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sin (t) + 1 d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sin (t) + 1 d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \sin (t) d t + \int d t$

Schritt 2.3.2

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + \int d t$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - \cos (t) + C_{2} + t + C_{3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$y + C_{1} = - \cos (t) + t + C_{4}$

Schritt 2.3.5

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = t - \cos (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = t - \cos (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\frac{π}{3}$ für $t$ und $\frac{1}{2}$ für $y$ in $y = t - \cos (t) + K$ ersetzt wird.

$\frac{1}{2} = \frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$ um.

$\frac{π}{3} - \cos (\frac{π}{3}) + K = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{3} - \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{π}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{2} + K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.2

Addiere $\frac{1}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = \frac{1}{2} - \frac{π}{3} + \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{1 + 1}{2} + \frac{- π}{3}$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$K = \frac{2}{2} + \frac{- π}{3}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.5.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$K = 1 + \frac{- π}{3}$

Schritt 4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = 1 - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Setze $1 - \frac{π}{3}$ für $K$ in $y = t - \cos (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1 - \frac{π}{3}$ .

$y = t - \cos (t) + 1 - \frac{π}{3}$