Analysis Beispiele

$(x^{2} + y^{2}) d y = x y d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x y d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x y]$

Schritt 2.2

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x y$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Schritt 3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- x = 2 x$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- x = 2 x$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- x$ .

$\frac{2 x - - x}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- x y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- x y$ .

$\frac{2 x - - x}{- x y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x - - x$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 - - x}{- x y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- - x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2 + x (- - 1)}{- x y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- - 1)$ heraus.

$\frac{x (2 - - 1)}{- x y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x (2 + 1)}{- x y}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{- 1 y}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $- x y$ .

$- \frac{3}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| y |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Schritt 6.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{3}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- x y$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- x y \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y (- x) \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- x \frac{1}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3

Kombiniere $\frac{1}{y^{2}}$ und $x$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x^{2} + y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d x$

Schritt 9.2

Da $\frac{1}{y^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{y^{2}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{2}} \int x d x)$

Schritt 9.3

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

Schritt 9.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.5.1

Schreibe $- \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ um.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2

Vereinfache.

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Schritt 9.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

Schritt 9.5.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2 y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $- \frac{x^{2}}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ nach $y$ gleich $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{2}$ und $y^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.13

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.3.14.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Subtrahiere $y^{2}$ von $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.6.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.6.1.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $\frac{1}{y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{1}{y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 14.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \ln (| y |) + C$