Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{7 x^{3}}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = y \frac{7 x^{3}}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y (2 \frac{d y}{d x}) = 7 x^{3}$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$y \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$y \cdot 2 d y = 7 x^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y \cdot 2 d y = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\int 2 y d y = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int y d y = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ als $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ um.

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.2.4.2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$y^{2} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ als $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ um.

$y^{2} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{4}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{2} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$

Schritt 3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{4} x^{4} + K}$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{7}{4}$ und $x^{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K}$

Schritt 3.2.2

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.3.1

Kombiniere $K$ und $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Schritt 3.2.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\frac{7 x^{4} + 4 K}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)$ um.

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $7 x^{4} + 4 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{4}}$

Schritt 3.2.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 3.2.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (7 x^{4} + 4 K)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (7 x^{4} + 4 K)}$

Schritt 3.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{7 x^{4} + 4 K}$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{7 x^{4} + 4 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + 4 K}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{7 x^{4} + K}}{2}$