Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$ , $y (2) = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $9 y^{2} - 4$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{9 y^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{{(3 y)}^{2} - 2^{2}}$

Schritt 1.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = (9 y^{2} - 4) \frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $9 y^{2} - 4$ mit $\frac{6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(9 y^{2} - 4) (6 x^{2})}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $9 y^{2}$ als ${(3 y)}^{2}$ um.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 4) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{({(3 y)}^{2} - 2^{2}) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 y$ und $b = 2$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 2$ .

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Schritt 1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y + 2) (3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Schritt 1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 2$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = \frac{(3 y - 2) \cdot 6 x^{2}}{3 y - 2}$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $6 x^{2}$ durch $1$ .

$(9 y^{2} - 4) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(9 y^{2} - 4) d y = 6 x^{2} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 9 y^{2} - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 9 y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int y^{2} d y + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 4 d y = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$9 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$9 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 4 y + C_{2} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \int 6 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$ als $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$ um.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$3 y^{3} - 4 y + C_{3} = 2 x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $2$ für $x$ und $0$ für $y$ in $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ ersetzt wird.

$3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0 = 2 \cdot 2^{3} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ um.

$2 \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $2$ mit $2^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2^{1 + 3} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$2^{4} + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 4.2.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$16 + K = 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$

Schritt 4.3

Vereinfache $3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ .

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 + K = 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$16 + K = 0 - 4 \cdot 0$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$16 + K = 0 + 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$16 + K = 0$

Schritt 4.4

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 16$

Schritt 5

Setze $- 16$ für $K$ in $3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 16$ .

$3 y^{3} - 4 y = 2 x^{3} - 16$