Analysis Beispiele

$3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 (x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 (x^{2} + y^{2})]$

Schritt 1.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 (x^{2} + y^{2})$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.4

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 (2 y)$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + 6 y] + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0 + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + \frac{d}{d x} [6 y]) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Da $6 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x + 0) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) \cdot 1$

Schritt 2.9

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x^{2} + x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Schritt 2.9.2

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$6 y = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $6 y$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)$ und $3$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2}) + 3 y^{2} + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x^{2}) - (- 3 y^{2})$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) + 6 y - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $6 y$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2}) - (- 6 y)$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y) - (6 y)$ heraus.

$\frac{- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.7

Schreibe $- (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ als $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ um.

$\frac{- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.8

Faktorisiere $3$ aus $- 1 (- 3 x^{2} - 3 y^{2} - 6 y + 6 y)$ heraus.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y))}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Schritt 4.3.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} - 2 y + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2} + 0)}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $- x^{2} - y^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 1 (- x^{2} - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - y^{2}$ und $x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (- (x^{2}) - (y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (y^{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (- (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $- (x^{2} + y^{2})$ als $- 1 (x^{2} + y^{2})$ um.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- 1 (x^{2} + y^{2}))}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 4.3.4.6

Dividiere $- 1 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$- 1 \cdot (- 1)$

Schritt 4.3.5

Schreibe $- 1 \cdot (- 1)$ als $- (- 1)$ um.

$- (- 1)$

Schritt 4.3.6

Ersetze $M$ durch $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$1$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int d y}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $3 (x^{2} + y^{2}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{y}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 (x^{2} + y^{2})$ mit $e^{y}$ .

$3 (x^{2} + y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 y^{2}) e^{y} d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y)$ mit $e^{y}$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + x (x^{2} + 3 y^{2} + 6 y) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x \cdot x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.6.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1} x^{2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.6.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{1 + 2} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + x (3 y^{2}) + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + x (6 y)) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.6.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} + 3 x y^{2} + 6 x y) e^{y} d y = 0$

Schritt 6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}) d x + (x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = 3 x^{2} e^{y} + 3 y^{2} e^{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} e^{y} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Schritt 8.2

Da $3 e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3 e^{y}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 e^{y} \int x^{2} d x + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Schritt 8.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 y^{2} e^{y} d x$

Schritt 8.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Schritt 8.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 e^{y} (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{y} x^{3}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{y} x^{3}$ nach $y$ gleich $x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + \frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2} e^{y} x]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2} e^{y} x$ nach $y$ gleich $3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}]$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x \frac{d}{d y} [y^{2} e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = e^{y}$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.4.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ gleich $a^{y} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y} + e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} e^{y} + 3 x (y^{2} e^{y}) + 3 x (e^{y} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x e^{y} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 11.6.4

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + e^{y} x^{3} + 3 e^{y} y^{2} x + 6 e^{y} x y$ um.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $x^{3} e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x e^{y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y}$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $3 y^{2} x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + 6 x y e^{y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y}$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $6 x y e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} e^{y} + 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - x^{3} e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$ .

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Schritt 12.1.4.1

Subtrahiere $x^{3} e^{y}$ von $x^{3} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} + 0 - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} e^{y} + 6 x y e^{y} - 3 y^{2} x e^{y} - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4.3

Ordne die Faktoren in den Termen $3 x y^{2} e^{y}$ und $- 3 y^{2} x e^{y}$ neu an.

$\frac{d g}{d y} = 3 e^{y} y^{2} x + 6 x y e^{y} - 3 e^{y} y^{2} x - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4.4

Subtrahiere $3 e^{y} y^{2} x$ von $3 e^{y} y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} + 0 - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4.5

Addiere $6 x y e^{y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 x y e^{y} - 6 x y e^{y}$

Schritt 12.1.4.6

Subtrahiere $6 x y e^{y}$ von $6 x y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $y$ ist $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (y) = C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = e^{y} x^{3} + 3 y^{2} e^{y} x + C$ um.

$f (x, y) = x^{3} e^{y} + 3 y^{2} x e^{y} + C$