Analysis Beispiele

$\frac{d P}{d t} = \frac{3100}{1 + 0.25 t}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d P = \frac{3100}{1 + 0.25 t} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d P = \int \frac{3100}{1 + 0.25 t} d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$P + C_{1} = \int \frac{3100}{1 + 0.25 t} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3100$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3100$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = 3100 \int \frac{1}{1 + 0.25 t} d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 1 + 0.25 t$ . Dann ist $d u = 0.25 d t$ , folglich $\frac{1}{0.25} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 1 + 0.25 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{0.25}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $0.25$ durch $1$ .

$0.25$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$P + C_{1} = 3100 \int \frac{4}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$P + C_{1} = 3100 (4 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $3100$ .

$P + C_{1} = 12400 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$P + C_{1} = 12400 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

$P + C_{1} = 12400 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u$ durch $1 + 0.25 t$ .

$P + C_{1} = 12400 \ln (| 1 + 0.25 t |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$P = 12400 \ln (| 1 + 0.25 t |) + C$